ABSTRACT: Double-e model for description of load-deflection diagrams of three-point bending test is applied. New approach for determination of three parameters of the model is introduced using criterion of minimum value of one in parameters.
1 ÚVOD
K určování lomově-mechanických vlastností betonu lze využít zkoušku tříbodovým ohybem vzorku s centrálním zářezem v oblasti „tažených vláken“. Typickým výstupem bývá pak např. hodnota prodloužení efektivní trhliny/zářezu, hnací síla trhliny, efektivní lomová houževnatost a lomová energie. Podkladem výpočtu těchto hodnot je diagram zatížení-průhyb uprostřed rozpětí. Poměrně složitý průběh tohoto l-d diagramu lze u kvazikřehkých materiálů vystihnout relativně jednoduchými funkcemi. V příspěvku jsou prezentovány možnosti užití tzv. dvouexponenciálního modelu (dále jen 2e model) a jsou testovány na ucelené experimentální sérii l-d diagramů získaných z lomových experimentů – zkoušky tříbodového ohybu betonových vzorků se zářezem.
Pro účely předkládaného příspěvku se využilo sady l-d diagramů získaných z experimentů na betonových vzorcích různého stáří. Série zkoušek byla prováděna Ing. Vlastimilem Bílkem, Ph.D. ve zkušebnách firmy ŽPSV Uherský Ostroh, a. s. a Ing. Pavlem Schmidem, Ph.D. ve zkušebně Ústavu stavebního zkušebnictví FAST VUT v Brně. Konkrétně byly postupně zkoušeny vzorky staré 4 dny (2 vzorky), 7 dní (2×), 28 dní (3×), 1 rok (3×), 2 roky (3×), 3 roky (3×) a 5 let (2×). Z odpovídajících l-d diagramů byly odečteny souřadnice dvou charakteristických bodů potřebných pro určení koeficientů 2e modelu – viz dále.
2 BARRŮV 2e MODEL
Jedno z řešení aproximace l-d diagramu matematickou funkcí nabídli Ming Kean Lee a Ben Barr z School of Engeneering, Cardiff University – viz např. [1]. Popsali zatěžovací křivku pomocí funkce:
![]() | (1) |
kde konstanty c1, c2 a c3 jsou řídící parametry funkce. V příspěvku [1] autoři navrhují postup výpočtu těchto parametrů zjednodušený pro praktické inženýrské účely. Podle tohoto postupu jsou k určení těchto parametrů potřeba souřadnice dvou bodů zatěžovacího diagramu: První dvojice souřadnic reprezentuje polohu vrcholu diagramu, druhá potom bod, který leží na sestupné větvi křivky v úrovni 0,2 násobku maximálního zatížení.
Výše zmíněný postup ilustruje Obr. 1, představující vyhodnocení tří zkoušek tříbodovým ohybem vzorků se zářezem při stáří těles 28 dní; vynesen je i výsledný 2e model. V Tab. 1 (převzato z [3]) lze nalézt hodnoty parametrů 2e modelu stanovené podle [1] pro celou studovanou sérii testovaných vzorků betonu různého stáří, včetně hodnot doplňkových parametrů q1 a q2, jejichž význam bude vysvětlen dále. Aproximace příslušných l-d diagramů pro parametry uvedené v Tab. 1 prezentuje Obr. 2.
Obr. 1 Aproximace l-d diagramu pro tři vzorky stáří 28 dnů postupem podle Barra
Tab.1 Hodnoty parametrů 2e modelu stanovené podle Barra
Obr. 2 Aproximace l-d diagramů pro vzorky různého stáří podle Barrova 2e modelu
3 VLASTNOSTI 2e MODELU A JEHO MODIFIKACE
Užitím nelineární metody nejmenších čtverců pro aproximaci naměřených bodů 2e modelem bylo zjištěno, že parametry c1, c2, c3 jsou vzájemně závislé. Existuje zřejmě nekonečně mnoho trojic těchto parametrů, definujících identickou funkci (1) (pro konkrétní případ to bylo prokázáno). Platí například vztahy:
![]() | (2) |
kde q1 a q2 jsou čísla, která zůstávají konstantní pro shodné funkce (těchto vztahů je zřejmě také nekonečně mnoho, například derivace v počátku libovolného řádu). Konstanta q1 je právě derivací funkce (1) v počátku – počáteční tuhost testovaného vzorku.
Ze vztahu (2) pro konstantu q1 vyplývá, že se vzrůstem parametru c1 bude klesat rozdíl mezi parametry c2 a c3, což vede k numerické nestabilitě – vliv chyby v určení parametrů c2 a c3 prudce vzrůstá s velikostí parametru c1 (viz Tab. 1). Jelikož Barrem doporučený postup pro stanovení parametrů modelu pro určité případy vede na velkou hodnotu c1, je třeba opatrnosti s určením počtu platných míst při zaokrouhlování parametrů c2 a c3.
Řešení tohoto problému lze vidět také ve změně definice užité funkce (1). Pro tuto aplikaci 2e modelu na studium vlivu stáří betonu na lomové parametry byla užita úprava hodnot parametrů uvedených v Tab. 1 aproximací standardními genetickými algoritmy [2] s kritériem minima parametru c1. Minimální hodnota tohoto parametru je vhodná z hlediska jednoznačnosti řešení a zároveň zajišťuje nejvyšší míru stability funkce vzhledem k chybě určení parametrů c2 a c3. Výsledky aproximací jsou uvedeny v Tab. 2.
Tab.2 Hodnoty parametrů 2e modelu stanovené aproximací genetickými algoritmy
Ze srovnání konstant q1 a q2 nacházejících se v Tab. 1 a Tab. 2 je patrné, že se výsledné funkce od původních příliš neliší. Největšího rozdílu bylo dosaženo u funkce pro beton stáří 28 dnů. Obě funkce pro toto stáří jsou porovnány na Obr. 3.
Obr. 3 Srovnání získaných aproximací pro vzorky stáří 28 dnů
4 PARAMETRY 2e MODELU PRO RŮZNÁ STÁŘÍ BETONU
Zaměříme-li se na genetickými algoritmy získané parametry 2e modelu pro celou studovanou sérii, ukáže se závislost jejich hodnot na stáří vzorků. Tento vývoj zachycuje Obr. 4. Nabízí se možnost interpolace získaných parametrů, která by posloužila ke získání představy o průběhu l-d diagramu pro vybraná stáří vzorků.
Obr. 4 Vývoj parametrů 2e modelu s ohledem na stáří betonu
5 Závěr
V příspěvku byly prezentovány možnosti využití 2e modelu pro aproximaci l-d diagramů tříbodového ohybu trámců se zářezem. Vedle dříve publikovaného postupu stanovení parametrů tohoto modelu [1], u kterého byla zjištěna nejednoznačnost jejich určení, je v článku představena modifikace hledání aproximace užitím standardních genetických algoritmů s novým kritériem minima parametru c1. Uvedená modifikace řeší problém zmíněné nejednoznačnosti parametrů a zároveň zlepšuje stabilnost jejich určení. Popsaný postup byl aplikován na výsledky série zkoušek vzorků různého stáří.
Poděkování
Práce vznikla za podpory grantového projektu GA ČR 103/03/1350 a výzkumného záměru MSM 261100009.
Literatura
[1] BARR, B. a LEE, M. K. Modelling the strain-softening behaviour of plain concrete using a double-exponential model, Magazine of Concrete Research, 4/2003, 343–353.
[2] CACKA, P. Vícekriteriální genetické algoritmy, diplomová práce, Ústav automatizace a informatiky FSI VUT v Brně, Brno, 2003.
[3] ŘOUTIL, L. Modelování chování předpjatého pražce při kontrolní zkoušce s uvažováním variability vstupních parametrů, především lomových, diplomová práce, Ústav stavební mechaniky FAST VUT v Brně, Brno, 2004.